あなたの指数関数はぐるぐるしてますか？

世界で最も美しい等式とされるオイラーの等式

$$e^{i\pi}=-1$$

これは指数関数と三角関数の橋渡しをしている、オイラーの公式のエックスにパイを代入した地点を表現しているのですが、

$$e^{ix}=\cos x+ i\sin x$$

じゃあ、エックスに１を代入したらどうなるのか？

$$e^{i}=\cos 1+ i\sin 1$$

それは、（Google検索窓にe^iと入れてみよう）

$$e^{i}=0.540302306\cdots + 0.841470985\cdots i$$

ただし、

$$e=\lim_{n \to \infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n=2.71828182846\cdots$$

ネイピア数eは、年率100%の利息＝１年後の元利合計200%を半年複利、３か月複利とどんどん細かく複利期間を短くして行った時に、１年後に最大何パーセントまで増やせるかという数値ですね。それは約271.8%なんですね。元本100%を差し引くと、元々の利率100%が171.8%になるのですから「複利は最大で単利の1.718倍になる」というのがジョン・ネイピアの発見なんですね。

なんとも不思議な数値です。ちなみに、

$$1^{i}= 1$$

なんだそうです。１を何回かけても１というわけです。その他、0.99^iとか1.01^iとかもgoogle先生に聞いてみると面白いですよ。

オイラーの公式の厳密な導出とか証明とかテイラー展開などは市販の本を読んで頂くとして、この記事では雰囲気を掴んで頂きたいと思います。それは、指数関数がぐるぐると回転しているということでございます。

$$i^2=-1$$

これはみんな知ってる虚数の定義ですが、この次が大事なんですね、

$$i^3=-i$$

うーん、なんの変哲もない、当たり前の式ですが！

次の、これが一番大事な数式、

$$i^4=1$$

がーん！またも当たり前の計算ですが、２乗でマイナス１になるというよりも、４乗して１になるということの方が虚数の重要な性質であると気づきました！

$$i^5=i$$